Faltung Einfaches Beispiel Essay

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In der Funktionalanalysis, einem Teilbereich der Mathematik, beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lateinischconvolvere „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen und eine dritte Funktion liefert. Die Faltung kann als ein Produkt von Funktionen verstanden werden.

Anschaulich ist der gewichtete Mittelwert von , wobei die Gewichtung durch gegeben ist. Der Funktionswert wird dabei mit gewichtet. Dadurch erhält man für jedes einen anderen gewichteten Mittelwert. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen und einer gespiegelten und verschobenen Version von kann z. B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Faltung für Funktionen auf Rn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Faltung zweier Funktionen ist definiert durch

Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von wohldefiniert ist.

Im Fall , also integrierbare Funktionen, deren uneigentliches Betragsintegral endlich ist, kann man zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist.[1] Also lässt sich die Faltung als Produkt auf auffassen.

Faltung periodischer Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für periodische Funktionen und einer reellen Variablen mit Periode definiert man die Faltung als

,

wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall mit Periodenlänge erstreckt. Es ist wiederum eine periodische Funktion mit Periode .

Faltung für Funktionen auf Intervallen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs setzt man und auf den gesamten Raum fort, um die Faltung ausführen zu können. Hierzu gibt es je nach Anwendung mehrere Ansätze.

Fortsetzung durch Null
Man setzt die Funktionen per Definition außerhalb des Definitionsbereiches durch die Nullfunktion fort: .
Periodische Fortsetzung
Man setzt die Funktionen außerhalb des Definitionsbereiches periodisch fort und verwendet die für periodische Funktionen definierte Faltung.

Im Allgemeinen ist die Faltung für derart fortgesetzte Funktionen nicht mehr wohldefiniert. Eine oft auftretende Ausnahme bilden stetige Funktionen mit kompaktem Träger, die durch Null zu einer integrierbaren Funktion in fortsetzbar sind.

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion an einer Stelle gibt an, wie stark der um zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also , in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt eingeht.

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

Glättungskern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Methode, eine Funktion zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern zu falten. Die entstehende Funktion ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von , und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein -dimensionaler Glättungskern oder Mollifier ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion , die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel hat und das Integral 1, durch entsprechende Wahl einer Konstanten , besitzt.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

wobei eine Normierungskonstante ist.

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für setzt:

wobei für .


Glättungskerne j und j1/2

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechteckfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

.

Durch Faltung von (rot dargestellt) mit dem Glättungskern entsteht eine glatte Funktion (blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der L1-Norm um etwa 0,4 abweicht, d. h.

.

Bei der Faltung mit für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung gefaltet mit einer zweiten Normalverteilung mit den Parametern und , so ergibt sich wieder eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung .

Beweis

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